Resumo de Matemática 1a prova 3° trimestre

Resumo de matemática

Matéria da prova

- Semelhança entre triângulos

- Teorema de Tales

- Teorema de Pitágoras

- Relações métricas no triângulo retângulo

Semelhança entre triângulos

Suponha que a altura de seu amigo seja 1,5m e que, em pé, ele projete uma sombra de 3m, ao mesmo tempo em que a árvore de h, e projeta uma sombra de 12 m, temos o seguinte esquema:

Para descobrirmos o valor de h usaremos a regra de 3, pois os triângulos formados respectivamente pela altura e pela sombra são proporcionais, isso quer dizer que se entre a altura e a sombra a distância foi dobrada, no outro triângulo acontecerá o mesmo.

Ex: 1,5/ 3  =  h/ 12

Multiplicaremos em cruz

1,5 x 12 = 18

3 x h = 3h

3h = 18

H = 18/3

H = 6

A altura da árvore corresponde a 6 metros

Outro exemplo, agora mais teórico

20/40 = 25/x+40

20 x X + 40 = 20x + 800

40 x 25 = 1000

20x + 800 = 1000

20 x = 1000 – 800

20 x = 200

X = 200/20

X = 10

Teorema de Tales

É basicamente a mesma coisa que o exercício acima

4/x = 16/12

16x = 12 x 4

16x = 48

X = 48/16

X = 3

Mais um exemplo, pra clarear um pouco mais as coisas

X + 2/ 4 = 8 / x – 2

(x+2). (x-2) = 4. 8

Para esse caso usaremos a propriedade distributiva, popularmente conhecida como “chuveirinho”

X. X= X²

X. -2 = - 2X

+ 2. X = 2X

+2 . -2 = -4

X² - 2X + 2X – 4 = 4. 8

+ 2 X com -2 X, positivo com negativo, um anula o outro.

X² - 4 = 4.8

X² - 4 = 32

X² = 32 + 4

X² = 36

X = √36

X = 6

A conta não termina por aqui porque devemos descobrir a quanto equivalem os espaços

6 - 2 = 4

6 + 2 = 8

Teorema de Pitágoras

Para usarmos a forma de Pitágoras o triângulo terá que ser um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo que possui um ângulo de 90°, a reta oposta a esse ângulo, nomeada na imagem de A, é chamada de HIPOTENUSA, os outros dois lados do triângulo, indicados por B e C são os CATETOS, para descobrirmos hipotenusa ou um dos catetos usamos a fórmula:

HIP² = C² + C²

Hipotenusa ² = cateto² + cateto²

Por isso a representação com quadrados na imagem acima

Ex:

HIP² = C² + C²

10² = x² + 6²

100 = x² + 36

100 – 36 = x²

64 = x²

X ² = 64

X = √64

X = 8

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações

M sempre ficará junto com C

N sempre ficará junto com N

Em algumas situações teremos algumas medidas e precisaremos descobrir outras, para isso foram criadas 6 fórmulas que deverão ser decoradas:

São elas:

H² = M. N

B² = A. N

C² = A. M

AH = B.C

BH = C. N

CH = B. M

Ex:

Queremos descobrir o valor de M, N e H e temos o valor de A, B e C então procuremos uma fórmula que sirva, por exemplo: Ah = BC

Ah = BC

10 h = 8. 6

10h = 48

H = 48/10

H = 4,8

Descoberto quanto vale h, podemos utilizar outra fórmula para descobrir N

B² = A . N

8² = 10. N

64 = 10. N

64/10 = N

6,4 = N

Se A = 10 e N = 6,4; A – N = M

10 – 6,4 = M

10 – 6,4 = 3,6

Descobertos os 3 valores a conta está resolvida mas é importante que as fórmulas sejam decoradas.

Resumo de matemática 2a prova do 1° trimestre

Resumo de matemática

2ª prova 1° trimestre

Função de 1° grau

Uma função de 1° grau

Na prova pode ser que o professor dê a função e peça para fazer o gráfico, ou dê o gráfico e peça para identificar a função

Tendo a função e precisando montar o gráfico

A)    Y = X+2

X	Y
1	3        (A)
2	4        (B)
3	5        (C)
4	6         (D)

Escolho quaisquer números para X

Y = X +2

Y = 1 + 2 = 3

Y = 2 + 2 = 4

Y = 3 + 2 = 5

Y = 4 + 2 = 6

Os pontos que fizemos na tabela são os pontos que colocaremos no plano cartesiano seguindo a regra: Sempre o eixo X primeiro /, depois o eixo Y

E o gráfico ficará assim:

Outro tipo de exercício

Se o professor der o gráfico e pedir pra identificar a função que o gerou

Peguemos como exemplo esse gráfico:

Para descobrirmos a função que o gerou, teremos que descobrir o A (coeficiente angular), o B (coeficiente linear), e o 0 da função

Olhando no gráfico, B é onde a reta cruza o eixo Y que é o 3

                                 0 da função é onde a reta cruza o eixo X que é o - 3 também

                                 Para descobrirmos o valor de A, dividimos a distância entre onde as retas se cruzam até o B e a distância do encontro das retas até o 0 da função, se o gráfico for crescente (que cresce) olhando da esquerda para a direita, o resultado será positivo, se for decrescente o resultado será negativo.

Por mais que o n° seja negativo, a distância sempre será positiva, no caso o – 3, será 3

No caso: 3 / 3 = 1 (gráfico crescente), ou seja, 1 mesmo

Pronto, temos os números, agora falta montar a função

 A função base para esse tipo de exercício é: Y = AX + B (decorar)

Substituímos respectivamente A por A e B por B

Y = 1x + 3

Como o n° 1 ali não muda nada

Deixamos a função sendo: Y = X + 3

Existem contas que podemos fazer através das funções, que nos dizem o coeficiente angular, o linear e o zero da função

Zero da função

É só substituir o Y por 0 e isolar o X

Ex: Y = X - 5

        X - 5 = 0

       X 0= + 5

X0 = zero da função

X0 = 5

Para descobrirmos o coeficiente angular (A) de uma função basta olhar para ela;

Y = X + 5

Y = 1x +5

A = N° que fica junto do X, como não há nem um número, dizemos que lá tem o N° 1

A = 1

Para descobrirmos o coeficiente linear de uma função também só é preciso olhar

Y = X + 5

B = N° que fica sozinho, sem letra, pode não haver coeficiente linear 0

B = 5

Na prova ele pode também, somente pedir para indicar os termos citados á cima, sem necessidade de fazer um gráfico

Gráficos

Existem 3 tipos de gráfico

Crescente: aquele que sobe (olhando da esquerda para a direita)

Decrescente: aquele que desce (                   ||                             )

Constante: aquele que fica uma linha reta, não sobe nem desce

Se o A > 0 a função será crescente

Se o A < 0 função será decrescente

Se o A = 0 função constante

Ex: Crescente: Y = 2x +3

   Decrescente: Y = - x  -2

   Constante: Y = -2

        

Inequações

Uma inequação é o contrário de uma equação, no caso da equação (lembram do exemplo da balança?) a balança está em total equilíbrio, por isso é usado o símbolo =,

Já numa inequação a balança está em desequilíbrio, tendo assim um lado < ou > que o outro:

Ex: X – 3 > 0

Resolvemos essa inequação da mesma maneira que resolvemos uma equação, isolando o X

X > 3

Nesse caso temos infinitos números maiores que 3, então sempre temos que colocar a SOLUÇÃO   de uma função, nessa solução colocamos os universos a qual o n° pertence e colocamos o resultado na inequação

S = {X€R/ X>3}

Lê-se X pertence ao Universo dos números Reais tal que X é maior que 3.

Em alguns exercícios será pedida para fazer uma reta de acordo com a inequação, no caso a reta da inequação acima Será assim:

Existem também inequações com os símbolos ≤ ou ≥ , resolve- se da mesma maneira, só que a reta, ao invés de a bola da reta ser aberta, será fechada, exemplo:

X – 4 ≥ 0

X ≥ 4

S = {X€R/X≥4}

Reta:

Lembrando que quando, numa inequação temos de multiplicar por – 1 inverte o sinal, < vira >, > vira < e o mesmo para ≥≤

Estudo do Sinal

Estudo do sinal é quando verificamos se o X for um N° maior que o X0 a função será positiva ou negativa e se X for um N° menor que o X0 a função será positiva ou negativa

Ex: Y = X + 4 – 1° descobrimos o 0 da função

X + 4 = 0

X0 = -4

-	X0	+
X < -4	-4	X > - 4

Pegue um N° menor que -4, por exemplo -5 e substitua na função

Y = - 5 + 4

Y = - 1

Ou seja, quando o valor de X for inferior ao valor do X0 a função será negativa

X< - 4 = -

Agora pegue um N maior que -4, por exemplo, 0 e substitua na função

Y = 0 + 4

Y = 4

Ou seja, quando o valor de X for superior ao valor do X0 a função será positiva

X> - 4 = +

Estudo dos sinais nada mais é do que fazer aquela pequena tabela

Exercícios de revisão

*Agradecimentos ao Prof. Fabiano

1)      Dadas as Funções do primeiro grau, identifique os coeficientes:

A)    Y = 2x + 3

B)     Y = 4 – X

C)    Y = 5X

D)    3X – 5Y + 2 = 0

E)     X – Y = 2

2)      Determinar os zeros das seguintes funções:

A)    Y = 2X – 5

B)     Y = 4 - 3X

C)    Y = 3X – 9

D)    Y = X/7 + 35

E)     Y = 4X/5 = 3

F)     Y = 6 – 2/5X

3)      Dadas as seguintes funções, escreva, corretamente, se são crescentes ou decrescentes

A)    Y = 2x – 9

B)     Y = -3X + 6

C)    Y = -2

D)    Y = 45 + X/45

E)     X + Y – 3 = 0

F)     Y - √3 = 0

G)    3X – 2Y = - 4

4)      Faça o estudo de sinais das seguintes funções:

Funções		+	X0	-
1	Y = -3X
2	Y = 2X + 5
3	Y = 3 –X
4	Y = 4 + 3x

5)      Verifique o sinal das seguintes funções (faça estudo dos sinais)

      

A) y = x + 9              B) y = - x + 9

6)      Determine o 0 das seguintes funções:

a)      y = x – 7

b)      y = - x + 10

c)      y = 6 – 2x

d)      y = 4x – 3

e)      y = 2 – 9x

f)        y = 1/2x + 5

+ Exercício 2 da página 92

+ Exercício 2 da página 106

+ Exercício 5 da página 108

+ Exercício 1 da página 338